Ave Philosophy! Morituri te salutant!

Blog grupe filozofa

Jedna zanimljivost

markot | 10 Avgust, 2011 15:31

Relativno skoro sam naleteo na jednu zanimljivost iz sveta matematike. Naime na dokaze o jednakosti broja 1 i broja 0,9999999… (gde tri tačke označavaju da postoji beskonačan broj devetki). Ono što je zanimljivo kod njih jeste njihova jednostavnost, a u isto vreme začuđenost rezultatom dokaza. Ovde ću izneti dva slična algebarska dokaza.

Prvi od dva dokaza je sledeći: uzmimo da je a=0,999999...; Onda je 10a=9,999999... Ista jednačina može se napisati i na sledeći način 10a=9+0,99999...; Pošto je 0,99999... jednako a, onda zamenom dobijamo 10a=9+a. Sređivanjem dobijamo da je 9a=9. Dakle, a=9/9, tj. a=1. Pošto je pretpostavljeno na početnu da je a=0,99999... iz čega je jednostavnim matematičkim operacijama dobijeno da je a=1, stoga je 1=0,999999...

Drugi dokaz glasi: 1/9 je jednako 0,111111...; 9*0,11111... daje 0,999999...; Međutim, pošto je 1/9 isto što i 0,111111..., onda zamenom u 9*0,111111... sa 9*1/9 dobijamo kao rezultat broj 1. Dakle, 0,99999... je jednako 1.

Iako ovi dokazi pokazuju da je 0,99999... jednako 1, ipak, strogo govoreći, ako 0,9999... uzimamo kao proces, pošto teško možemo da zamislimo beskonačnost od jednom (ako uopšte možemo da je zamislimo), 0,9999... nikada neće ''udariti'' u 1. To onda podseća na jedan od Zenonovih paradoksa, naime na paradoks pod nazivom ''Ahil''.

Ukratko, pošto je već pominjano u prethodnim blogovima, paradoks ''Ahil'', malo modifikovan, sastoji se u sledećem. Imamo dva učesnika trke, jedan od njih je Ahil a drugi je kornjača. Trka ne počinje fer, jer je  kornjači data izvesna prednost u razdaljini do cilja, odnosno put koji treba da pređe kornjača do cilja je manji nego put koji treba da pređe Ahil. Recimo da se Ahil složio sa nefer početkom trke, pošto je pomislio da je skoro neuporedivo brži od kornjače pa ta razlika ne daje neku prednost kornjači. Trka počinje. Međutim, Ahil je najednom uvideo da da bi stigao do cilja, on mora prvo da pređe onu razdaljinu koja je postavljena na samom početku između njega i kornjače. Takođe je uvideo da za vreme koje bi mu bilo potrebno za prelaz te početne razdaljine, kornjača bi prešla put, možda neznatno mali, ali u svakom slučaju put koji ima neku dužinu. Stoga, kada bi stigao u tačku odakle je kornjača krenula, kornjača bi opet bila ispred njega. Da bi sustigao kornjaču Ahil bi morao da pređe i taj put koji je kornjača prešla, dok je on prelazio put od njegove startne pozicije do startne pozicije kornjače. Ali, dok bude prelazio put kornjače koji je ona napravila za vreme dok je on prelazio početnu razdaljinu, kornjača je prešla opet neki put, koji će Ahil morati preći da bi je sustigao i tako u beskonačnost. I dok Ahil stoji na startnoj poziciji zbunjen ovim paradoksom i pokušavajući da ga reši, kornjača polako ali sigurno dostiže cilj. Ko bi rekao da će Ahil izgubiti trku.

Možemo, dakle, uočiti sličnost između Ahila koji bezuspešno pokušava da sustigne kornjaču i broja 0,99999... koji takođe ''bezuspešno pokušava da stigne'' broj 1. Matematičari su, da bi izbegli ''beskonačne'' glavobolje koje je imao Ahil, smislili rešenja za ovaj paradoks. Međutim, barem intuitivno, kako nam sam paradoks pokazuje, i dalje ostaje otvoreno pitanje da li je 0,99999... jednako 1.

 
Powered by blog.rs