Ave Philosophy! Morituri te salutant!

Blog grupe filozofa

Jedna zanimljivost

markot | 10 Avgust, 2011 15:31

Relativno skoro sam naleteo na jednu zanimljivost iz sveta matematike. Naime na dokaze o jednakosti broja 1 i broja 0,9999999… (gde tri tačke označavaju da postoji beskonačan broj devetki). Ono što je zanimljivo kod njih jeste njihova jednostavnost, a u isto vreme začuđenost rezultatom dokaza. Ovde ću izneti dva slična algebarska dokaza.

Prvi od dva dokaza je sledeći: uzmimo da je a=0,999999...; Onda je 10a=9,999999... Ista jednačina može se napisati i na sledeći način 10a=9+0,99999...; Pošto je 0,99999... jednako a, onda zamenom dobijamo 10a=9+a. Sređivanjem dobijamo da je 9a=9. Dakle, a=9/9, tj. a=1. Pošto je pretpostavljeno na početnu da je a=0,99999... iz čega je jednostavnim matematičkim operacijama dobijeno da je a=1, stoga je 1=0,999999...

Drugi dokaz glasi: 1/9 je jednako 0,111111...; 9*0,11111... daje 0,999999...; Međutim, pošto je 1/9 isto što i 0,111111..., onda zamenom u 9*0,111111... sa 9*1/9 dobijamo kao rezultat broj 1. Dakle, 0,99999... je jednako 1.

Iako ovi dokazi pokazuju da je 0,99999... jednako 1, ipak, strogo govoreći, ako 0,9999... uzimamo kao proces, pošto teško možemo da zamislimo beskonačnost od jednom (ako uopšte možemo da je zamislimo), 0,9999... nikada neće ''udariti'' u 1. To onda podseća na jedan od Zenonovih paradoksa, naime na paradoks pod nazivom ''Ahil''.

Ukratko, pošto je već pominjano u prethodnim blogovima, paradoks ''Ahil'', malo modifikovan, sastoji se u sledećem. Imamo dva učesnika trke, jedan od njih je Ahil a drugi je kornjača. Trka ne počinje fer, jer je  kornjači data izvesna prednost u razdaljini do cilja, odnosno put koji treba da pređe kornjača do cilja je manji nego put koji treba da pređe Ahil. Recimo da se Ahil složio sa nefer početkom trke, pošto je pomislio da je skoro neuporedivo brži od kornjače pa ta razlika ne daje neku prednost kornjači. Trka počinje. Međutim, Ahil je najednom uvideo da da bi stigao do cilja, on mora prvo da pređe onu razdaljinu koja je postavljena na samom početku između njega i kornjače. Takođe je uvideo da za vreme koje bi mu bilo potrebno za prelaz te početne razdaljine, kornjača bi prešla put, možda neznatno mali, ali u svakom slučaju put koji ima neku dužinu. Stoga, kada bi stigao u tačku odakle je kornjača krenula, kornjača bi opet bila ispred njega. Da bi sustigao kornjaču Ahil bi morao da pređe i taj put koji je kornjača prešla, dok je on prelazio put od njegove startne pozicije do startne pozicije kornjače. Ali, dok bude prelazio put kornjače koji je ona napravila za vreme dok je on prelazio početnu razdaljinu, kornjača je prešla opet neki put, koji će Ahil morati preći da bi je sustigao i tako u beskonačnost. I dok Ahil stoji na startnoj poziciji zbunjen ovim paradoksom i pokušavajući da ga reši, kornjača polako ali sigurno dostiže cilj. Ko bi rekao da će Ahil izgubiti trku.

Možemo, dakle, uočiti sličnost između Ahila koji bezuspešno pokušava da sustigne kornjaču i broja 0,99999... koji takođe ''bezuspešno pokušava da stigne'' broj 1. Matematičari su, da bi izbegli ''beskonačne'' glavobolje koje je imao Ahil, smislili rešenja za ovaj paradoks. Međutim, barem intuitivno, kako nam sam paradoks pokazuje, i dalje ostaje otvoreno pitanje da li je 0,99999... jednako 1.

Matematika, fizika i još po nešto | Sledeći | Prethodni | Komentari (9) | Trekbekovi (0)

Komentari

?

Visoka strucna sprema | 10/08/2011, 16:35

Ovo je takva smaračina i apsolutno NEPOTREBNO U SVAKODNEVNOM ŽIVOTU. Ovo je za zaludjivanje djaka od strane dokonih profesora. Treba uciti decu od cega ce da zive, a ne kojekakve dubokoumne gluposti, da izvinete.

Re: Jedna zanimljivost

markot | 10/08/2011, 17:53

Slažem se da decu treba učiti od čega će da žive, ali neko mora da se bavi i dobokoumnim glupostima. Da nije bilo dubokoumnih gluposti ne bi bilo ni sa jedne strane ni raketnih pogona, pa ne bismo nikada napustili površinu Zemlje. A sa druge strane, ne bi bilo onih stvari bez kojih dans ne bismo verovatno mogli da živimo, dakle koje se tiču svakodnevnog života, i koje se konkretno tiču onoga od čega ćemo da živimo.

dubokoumna dubokoumnost

Petar | 12/08/2011, 00:15

Најпре о коментару и одговору. Некако ми боду очи. Није да те браним, немаш се ни потребе бранити а немаш ни од кога, могао си лагано и да не одговориш на коментар. Лепо си написао "Једна занимљивост", и заиста јесте занимљиво и повезано је са Зеноновим парадоксом. Не знам какву је занимљивост очекивао посетилац, али...сулудо је и коментарисати овај коментар, ти си пристојно и "како доликује" одговорио и тако и треба, ја сам се изнервирао, па ћу ти мој одговор рећи усмено.
Једна ствар о бесконачности. Кажеш "тешко можемо да замислимо бесконачност одједном", мислећи да није у питању сукцесивна него симултана (истовремена) подела на бесконачно делова. Овде се може уошити веза са Зеноновим парадоксом, коју си ти навео. Нисам сад сигуран ко је извор, мислим да је Аристотел, али ми смо то спомињали као Леукипов одговор Зенону. Ту се прави ова разлика између две врсте дељења (има о томе у Каћином тексту о Атомистима). Тај појам замишљања може бити споран, тешко се уклапа у причу са дељењем. Зашто би сукцесивна дељивост била замислива (а тиме и интуитивна, иако је и та веза спорна) а симултана не? Мени је тешко да замислим и ову прву. Ако сукцесивно поделиш једну дужину на бесконачно делова и све то можеш да замислиш, не би требало да буде проблем да замислиш како сада ту дужину "по сукцесивној подели" симултано поделиш и добијеш потпуно исту поделу. Али, где је крај сукцесивној подели? Сукцесивно можеш да делиш, да ли и да поделиш? Или што би рекао Кант бесконачан временски низ не може протећи...ти си употребио синтагму "замислимо бесконачност". А и у једном и у другом случају бесконачности замишљамо процес дељења са различитим трајањем...ето, то ми паде на памет.

Re: Jedna zanimljivost

markot | 12/08/2011, 00:53

Da slažem se. Ja sam pre mislio na proces koji se odvija, a ne na zamišljanje beskonačnosti. Možda sam se nezgodno izrazio, ali ono na šta sam mislio je proces, a ne zamislivost bilo sukcesivne bilo simultane beskonačnosti.

Re: Jedna zanimljivost

ivanpetrovic | 08/09/2011, 17:39

Odlican tekst. Oduvek mi je bilo kontraintuitivno da 0,9999... bude jednako sa 1. Dokaz koji si izneo mi je razjasnio neke stvari. Pozdrav.

Re: Jedna zanimljivost

markot | 10/09/2011, 13:33

Drago mi je da ti je tekst bio od pomoci.

?

Marija | 12/09/2011, 16:08

Evo jedan djak da se javi.
Sa komentarom dotičnog gore koji spominje da je ovo za zaludjivanje djaka od strane profesora apsolutno se ne slažem. Ja bih bila presrećna kada bih imala nekog profesora koji iznosi ovakve dokaze ili generalno priča o paradoksima.
Kao da nam svima nije dosta ovog sistema obrazovanja koji smara koliko vidim ne samo decu nego i profesore.
Samo se vrti la la la la i samo se uči la la la la napamet. Ne može mene tamo neko da nauči kako da živim, kao što ne može ni visoka stručna sprema. Život ne može da se nauči tako što ćeš mi dati par saveta jer bi onda moj život postao život koji žive drugi ljudi
na način koji oni smatraju ispravnim, a ne moj život.
Ko smatra ovakve stvari nepotrebnim u svakodnevnom životu, ne želim ni da zamišljam na šta mu se sveo svakodnevni život.
Jedno prosvetiteljstvo bi svima dobro došlo ovih dana.
I stvarno je zanimljivost i prosto sam se pošteno oraspoložila čitajući ovaj tekst.
Pozdrav

isto iskustvo

Zeljko | 18/05/2012, 00:21

Do istog zakljucka sam i sam dosao pre vise godina sledecim rezonovanjem:

1/3 = 0,3333333...
3 * 0,33333... = 0,99999...
3 * 1/3 = 1

Znaci da je

0,9999... = 1

bio sam zacudjen da je matematika tako "neprecizna" i pitao sam jednog profesora matematike da li je to zaista tako.
On mi je odgovorio da je tacno da je 0,999.. = 1 ali da se tu ne radi ni o kakvoj nepreciznosti matematike, vec o mom neznanju matematike. Preporucio mi je da citam Dedekinda.
Meni je u svakom slucaju to bilo inetersantno.

filosofskibl

sascha ein | 07/08/2015, 01:24

Ovaj matematički postupak, kao i kod Zenona, je nekorektno izveden iz sljedećih razloga: na jednom dijelu puta broj, u ovom slučaju 0,999999..., smatramo beskonačnim, a zatim s istim brojem operišemo i to već na prvom koraku kao da je on konačan. Dokazi na kraju matematičkih operacija iz istih razloga su nevaljali kao i kod Zenona, iako izgledaju tačni, ali su neistiniti jer ako nešto držimo beskonačnim onda se toga treba držati do kraja pa tako i u množenju i u drugim operacijama. Problem je na prvom mjestu u onom ,,konačno puta Beskonačno“, a da to izvodimo kao da se radi o dva konačna broja i to još bez imalo problema uradimo da ni ne trepnemo okom.

Kod Ahila i kornjače je odstojanje na stazi konačna veličina, a da se pri dijeljenju pribjegava beskonačnim odsječcima. Eto, to je nekorektno i to nas zbunjuje: Kvadrat smo pretvorili u krug, riješili smo baš olako ,,nerješivi“ pitagorejski problem: 4a smo prebacili u 2rπ, tj. konačno prebacili u beskonačno. Ali to je Misterija, i ona se NE rješava dokazima navedenim u ovom postu, ne na taj način ili čak nikako matematski. U svakom slučaju vrijedi o ovom raspravljati, kako da ne. I Hvala.

sascha ein
www.filosofski.blogspot.com

 
Powered by blog.rs