Ave Philosophy! Morituri te salutant!

Blog grupe filozofa

Једно решење Канторовог парадокса

tarpe | 10 Februar, 2014 13:53

Георг Кантор је 1899. године открио парадокс, али га је објавио много година након открића. Парадокс је касније и назван по њему. У међувремену се појавио још један велики парадокс теорије скупова који је уздрмао математику – Раселов парадокс. Бертранд Расел је, проучавајући Фрегеа и анализирајући доказ Канторове тореме, открио парадокс који ће изменити ток филозофије. Расел је свој откриће послао Фрегеу, а овај је други том својих Основних закона аритметике завршио следећим признањем:

Научник једва да може наићи на нешто непожељније него да доживи да му темељни принцип пропадне баш када је довршио посао. Ја сам био доведен у тај положај писмом господина Бертранда Расела, када је ово дело већ готово било објављено.

Раселов парадокс је у једном смислу важнији од Канторовог јер се у њему не појављују појмови подскупа, партитивног скупа и кардиналног броја неког скупа, већ само основни појам теорије скупова – скуп. Расел је предложио теорију типова као решење парадокса теорије скупова. Други начин решавања проблема парадокса је 1908. године објавио Ернст Цермело, уз каснију допуну Абрахама Френкела и Торалфа Сколема. То је Цермело-Френкелова аксиоматска теорија скупова, у оквиру које се налази аксиома сепарације (подскупа) а којом се ограничава избор скупова. Та теорија се још назива ZFC торија скупова, где слово C означава аксиому избора (Choice). Укратко, аксиома  сепарације (подскупа) каже да постоје (да се могу конструисати) само подкупови скупова који су већ дати.

Аксиома подскупа у ZFC:За сваки скуп z постоји подскуп који садржи тачно оне елементе из z који задовољавају j.

"zy"x (xÎy « (xÎz Ù j(x))).

Коментар аксиоме: да бисмо лакше испратили шта формулни запис аксиоме значи додајмо јој следеће yÍz (ово није права асиома већ схема аксиома, јер за свако j имамо по једну аксиому). Дакле, за сваки дати (већ постојећи) скуп (z), постоји подскуп (y) такав да садржи елемент x. Сваки елемент из z је носилац неког својства и могуће је преко тог својства (тј. његовог носиоца) направити подскуп). Ова аксиома је уствари аксиома компрехензије (издвајања) из Канторове или идеалне теорије скупова [($y)("x)(xÎy Û j(x))] модификована тако да се избор/издвајање скупа врши једино из већ постојећег скупа (због тога је скуп који бирамо његов подскуп). Могу се конструисати само скупови који су подскупови неког датог скупа.

Овим се онемогућава конструкција скупа свих скупова, јер немамо скуп чији је он подскуп, и на тај начин се избегава Канторов парадокс. За сваки скуп важи Канторова теорема онако како је доказана, али се променило разумевање тога шта значи бити скуп (шта се све подразумева под скупом). То што ова теорема не важи за скуп свих скупова не значи да је она погрешна него да скуп свих скупова није скуп у правом смислу те речи. Међутим, проблем је што смо до тог скупа дошли следећи наше интуиције о скуповима и идеалну теорију скупова. У идеалној теорији скупова овај скуп (скуп свих скупова) је исправан. Морало је, дакле, доћи до промене у самом грађењу (конструисању, издвајању) скупова.  Аксиоматизацијом (Цермела и Френкела), интуитивна идеја скупа као колекције објеката који имају неко својство је одбачена, а тиме и идеја да се скуп свих објеката може поделити на скуп оних који поседују то својство и оних који га не поседују (свих осталих објеката). Прешло се на изградњу скупова полазећи од задатих расположивих елемената (који се дефинишу аксиомама). Изградња сложенијих скупова се, такође, регулише путем аксиома (на пример, аксиома уније, аксиома подскупа, и слично), а то је сигуран пут да се парадокси попут Канторовог избегну. Ако на тај начин поставимо основе теорије скупова, онда ћемо добити систем у коме је могуће доказати Канторову теорему, а избећи Канторов парадокс.

Komentari

Dodaj komentar





Zapamti me

 
Powered by blog.rs