Ave Philosophy! Morituri te salutant!

Blog grupe filozofa

Канторова теорија скупова и Раселов парадокс

tarpe | 22 Septembar, 2011 20:31


Канторова или наивна теорија скупова је једна веома значајна математичка и логичка теорија, ако ни због чега другог онда због тога што је покренула велики број питања значајних за математику, логику и филозофију.

То је једна интуитивно прихватљива и здраворазумска теорија. Она полази од две основне претпоставке које ћу овде изложити као одговоре на два питања:

1.   Шта је то скуп?

2.   Шта је то елемент скупа?

Скуп је било која колекција неких објеката или ентитета који имају одређену особину. Сваки ентитет који има ту особину је члан или елемент датог скупа. Особине могу бити задате као позитивне (нпр. скуп свих ентитета који имају особину да су столице је скуп свих столица) или као негативне (нпр. скуп свих ентитета који имају особину да нису чаше; том скупу ће припадати све што није чаша: људи, столице, столови...). Дакле, када је у питању појам скупа ради се о некаквом скупљању или окупљању (елементи припадају одговарајућем скупу). Оваква концепција делује интуитивно и непроблематично. Међутим, крајем 19-ог и почетком 20-ог века појавили су се логички парадокси, који су уздрмали ово интуитивно схватање скупа. Најпознатији парадокс је Раселов парадокс. Бертранд Расел је савремени енглески филозоф који је познат по својим логичким истраживањима (која су усмерена на изградњу идеалног језика). Покушавајући да реши проблеме на пољу теорије значења и не прихватајући Фрегеово и Мајнонгово решење тих проблема, Расел је сматрао да је, будући да је извор филозофских проблема у непрецизности и вишесмислености природног језика, потребно преводити природни језик на логички. Тај метод се зове метод логичке анализе и уз помоћ њега се, према Раселовом мишљењу, могу решити многи филозофски проблеми. Расел је у својим истраживањима открио парадокс који се по њему назива Раселов. Овај парадокс подрива темеље дотадашње теорије скупова и натерао је многе логичаре да раде на унапређењу теорије скупова. У чему се састоји Раселов парадокс?

Из наведене дефиниције скупа следи да се може формирати скуп елемената који имају једну заједничку особину. Формирајмо један такав скуп чији ће елементи бити сви скупови који имају особину да не садрже сами себе.

R = {S такво да S Ï S}

Да ли је скуп R члан самог себе?  Ако скуп припада самом себи, онда не задовољава особину којом је скуп дефинисан (па према томе не може ни ући у дефинисани скуп, дакле не припада самом себи). Ако скуп не припада самом себи, онда задовољава наведену особину и припадаће самом себи. У покушају да се одговори на питање Да ли скуп свих скупова који не садрже себе садржи себе?, долази се до контрадикторног закључка – ако скуп не припада/припада самом себи, онда скуп припада/не припада самом себи.

S Î R Û S Ï S (S припада R ако и само ако S не припада самом себи). То следи из одређења или дефиниције скупа R (R = {S такво да S Ï S})

Када уместо S заменимо R (а то радимо јер се питамо да ли је скуп R члан самог себе, тј. питамо се да ли је R међу оним скуповима S који сачињавају скуп R и не припадају самима себи (S Ï S)) добијамо:

R Î R Û R Ï R, односно: 

(R Î R Þ R Ï R)  Ù (R Ï R Þ R Î R) (еквиваленција изражена помоћу импликације и конјукције)

Ако R Î R, онда R Ï R, и ако R Ï R, онда R Î R, а оба случаја су противречна због закона искључења трећег:

R Î R Ú R Ï R  (такозвани “закон искључења трећег” (А Ú ØА) је таутологија – формула која је увек истинита)

Сам Расел је решавајући овај парадокс дао решење у виду своје теорије типова, чија је основна поента у ограничењу шта све може бити члан једног скупа. Првом типу припадају скупови основних ентитета. Скупови који садрже скупове првог типа су скупови другог типа итд. Идеја је да скуп одређеног типа може као своје елементе садржати само скупове нижих типова, а никако свог или виших типова, па уколико теорија садржи ту забрану, онда се не можемо питати да ли је скуп R члан самог себе? Расел је, откривши парадокс, писао Фрегеу који је радио на својој књизи Основи аритметике и покушавао да прецизира Канторову теорију скупова. Фреге је након овога схватио да његова теорија води у противречност. Постоје логичари (тзв. интуиционисти) који су парадокс решавали тако што нису прихватали закон искључења трећег. Раселов парадокс је најпознатији и најзначајнији управо због тога што је његово откриће уздрмало математику и логику с почетка двадесетог века, али далеко од тога да је једини. У то време појавило се низ сличних парадокса који су потврдили проблеме са дотадашњом теоријом скупова: Бурали-Фортијев (који је објављен пре Раселовог, али није имао такав утицај), Канторов (који говори о универзалном скупу тј. скупу свих скупова), Ришардов, Беријев, Грелингов...а они се деле на логичке (као што је Раселов) и семантичке (као што је Грелингов). Најједноставније речено, семантички парадокси се не тичу скупова него речи и њихових значења.

За крај ћу изложити Грелингов парадокс како бисмо јасније увидели ову разлику између две врсте парадокса. Он се може изложити у више варијанти али суштина је иста. Разликују се две врсте придева: хетерологични, они који не говоре о себи (брз, хладан, једносложан, дуг итд) и аутологични, они који говоре о себи (кратак, вишесложан, изрецив, милозвучан итд).

Поставимо питање – да ли је придев “хетерологичан“ хетерологичан? Као тест аутологичности придева питамо се нпр. да ли је кратак” кратка реч? Ако је одговор “да” онда је придев аутологичан, а ако је одговор “не” онда је хетерологичан. Ако се, аналогно томе, питамо да ли је “хетерологичан“ хетерологична реч, онда добијемо парадоксалан закључак – ако јесте, онда је аутологична, а ако није, онда је хетерологична. Дакле, ако наведени придев јесте хетерологичан, онда није хетерологичан (већ аутологичан), а ако није хетерологичан, онда јесте хетерологичан.

Да ли је придев “хетерологичан“ хетерологичан?

Да (јесте хетерологичан).Онда је аутологичан (јер говори о себи).

Не (није хетерологичан). Онда је хетерологичан (јер не говори о себи).

Komentari

Re: Канторова теорија скупова и Раселов парадокс

markot | 11/10/2011, 23:13

Dobar, jasan i meni zanimljiv tekst, posebno deo na kraju o Grelingovom semantičkom paradoksu. Na prvi pogled, svi ovi paradoksi me podsećaju na paradoks Lažova. Pošto ako imamo rečenicu koja glasi ''Ova rečenica je lažna'' (obeležuću je sa L), onda ako je L istinito onda je lažno, pošto to sama rečenica kaže. U slučaju da je L lažno, a i sama rečenica govori da je lažna, onda je istinita.

Re: Канторова теорија скупова и Раселов парадокс

Petar | 12/10/2011, 20:47

Jeste, to je isto kao paradoks Lazova, a on se moze izloziti ovako ili drugacije (ima onaj primer kad jedan Kricanin kaze "Svi Kricani lazu") ali poenta je ista. Ova druga dva semanticka paradoksa sto sam pomenuo su drugacija od Grelingovog, malo su komplikovaniji ali su podjednako zanimljivi (njega sam izlozio jer mi se cini da je nekako ekvivalent Raselovom, samo se ne tice skupova, ali im zakljucci deluju analogni).

Zanimljiv tekst

Jovan | 18/03/2012, 14:23

Upotrebljen u seminarsko radu. Samo tako nastavite :)

HD wallpapers

Dodaj komentar





Zapamti me

 
Powered by blog.rs