Ave Philosophy! Morituri te salutant!

Blog grupe filozofa

Канторов парадокс

tarpe | 10 Februar, 2014 13:43

У овом кратком раду подсетићемо на једног од најважнијих савремених математичара и филозофа, творца теорије скупова – Георга Кантора (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor). Нећемо се бавити целокупним Канторовим стваралаштвом, али ћемо се позабавити једним његовим филозофски релевантним делом, а то је Канторов парадокс.

Кратка биографија: Георг Кантор је живео од 1845. до 1918 године. Рођен је у Санкт Петерсбургу. Математику је студирао у Цириху и Берлину. У Берлину је похађао предавања код најважнијих математичара тог времена – Ернста Кумера, Карла Вајерштраса и Леополда Кронекера (са којим ће касније доћи у лични и професионални сукоб). Још један велики савремени филозоф је студирао математику код двојице, од поменуте тројице математичара (Вајерштраса и Кронекера) – Едмунд Хусерл. Док је Хусерла пут даље водио преко Франца Брентана ка феноменологији, Кантор је цео свој радни век провео истражујући у две математичке области – теорији бројева и теорији скупова, и у обе је оставио запажене резултате. Преломни моменат у његовом животу је било познанство са Рихардом Дедекиндом, који је покушавао да дефинише скуп реалних бројева, и који је Кантора подстакао на истраживања у том пољу. Из тог периода његовог рада најважније достигнуће је доказ непребројивости скупа реалних бојева (R) («дијагонални аргумент»). Теорија скупова и теорија бројева нису одвојене области, него се, напротив, преплићу. Кантор је бројеве истраживао преко скупова бројева – природних, целих, рационалних, реалних, ..., и дошао до важних резултата. Нас занима његов парадокс, и сходно томе, из опште теорије скупова ћемо издвојити само оне појмове који су нам неопходни за разумевање те теме.

Теорија скупова је математичка теорија која се бави скуповима и важи за темељну математичку област (ону на којој се базирају друге области математике; нпр, преко скупова се могу дефинисати релације, функције, итд). Теорија скупова је математичка теорија која се бави скуповима и важи за темељну математичку област (ону на којој се базирају друге области математике; нпр, преко скупова се могу дефинисати релације, функције, итд). Природа скупова је, попут природе бројева или функција, нешто око чега су у математици и филозофији математике мишљења подељена. Неки филозофи сматрају да су скупови посебна врста математичких објеката а други то негирају, тврдећи да скупови нису објекти већ људски конструкти. Дакле, реч је о онтологији математике чији је предмет природа математичких објеката. Онтолошка питања су повезана са епистемолошким и методолошким. На пример, ако сматрамо да скупови постоје независно од наше свести, онда нам се намеће питање како их сазнајемо. Или је случај обрнут, ако заузмемо одређену епистемолошку позицију, отвара се питање онтолошког статуса предмета нашег сазнања. Такође, и тиме ћемо завршити ову кратку напомену из филозофије математике, на овом нивоу разматрања математичких питања није саморазумљиво шта је доказ или шта је математичка операција. Кроз школовање смо усвојили одговарајући математички језик и правила која користимо не доводећи их у питање. Бројили смо и рачунали, али се нисмо питали шта су бројеви. Цртали смо геометријска тела, израчунавали њихове површине и запремине, али смо се ретко питали шта су тачке, праве, равни. А када се упитамо шта је број, шта је тачка, шта је доказ, шта је скуп, онда смо на прагу филозофије математике. На било које од ових питања и покушај његовог одговора надовезује се мноштво филозофских питања и проблема везаних за језик и значење (семантика), природу или начин постојања објеката (онтологија), знање, оправдање и истину (епистемологија), примену математичких знања на стварност, утемељење или заснивање математике, и слично.

Скуп је основни појам идеалне теорије скупова, појам од кога се полази и он се не дефинише (већ се описује или интуитивно разумева). Скуп треба схватити као колекцију (збир) објеката који поседују неку особину.

S = { x : x има особину A} = { x : j(x) }, где j(x) значи да x има неку особину, на пример A,

Пример:  S = { x : x је столица} је скуп свих столица.

Теорија скупова о којој овде говоримо се обично назива Канторовом, класичном, идеалном или наивном теоријом скупова (сва имена су у употреби), и она је касније замењена тзв. аксиоматском теоријом скупова (којом се поједини парадокси избегавају). Ова потоња се још назива ZF теорија скупова, по почетним словима имена њених твораца – Цермела и Френкела. Иако у свом првобитном облику није излагана путем аксиома, за Канторову теорију скупова не можемо рећи да је неаксиоматска, јер се састоји из две аксиоме:

(1) аксиома екстензионалности (обухватности) – два скупа су једнака само у случају да су им елементи исти ("x)("y)(("z)(zÎx Ù zÎy) Û x=y)

(2) аксиома компрехензије (издвајања) – за свако својство постоји скуп који чине само они објекти који имају то својство ($y)("x)(xÎy Û j(x)). Ова аксиома је извор парадокса.

На место j(x) може доћи било које својство (због тога испред стоји универзални квантификатор "): x је сто, x је непаран број, x је планета Сунчевог система или x је скуп који није члан самог себе (Раселов парадокс). Скуп може бити дефинисан и преко негативних својстава, као што је на пример својство x није столица (то ће бити скуп свих објеката који нису столице тј. немају својство бити столица (у том случају можемо да ограничимо домен на метеријалне објекте или да допустимо да у њега уђу и апстрактни објекти)).

Битно је напоменути да Кантор није систематски изложио ову теорију, али је каснијим реконструкцијама утврђено да се она налази у позадини свега што је радио. Две аксиоме које смо навели (уз аксиому избора, о којој овде неће бити речи јер за проблематику парадокса није релевантна) су само другачији запис онога што је Кантор у свом раду подразумевао.

Основне операције са скуповима су подскуп, унија, пресек, разлика, комплемент,..., и њих овде нећемо изводити, већ ћемо их као најосновније претпоставити. Неке друге ћемо, ради могућности праћења текста, морати да објаснимо. Једна од особина скупова је њихов кардинални број (или кардинал, кардиналност).

Дефиниција кардиналног броја: Кардинални број неког скупа X је број елемената тог скупа и обележава се са |X|.

Да бисмо схватили Канторов парадокс морамо прво увести Канторову теорему, а да бисмо њу увели неопходан нам је појам партитивног скупа.

Дефиниција партитивног скупа: Партитивни скуп скупа X је скуп свих подскупова скупа X.

P(X) = {Y : Y Í X}  

(у овој формули Í значи подскуп (један скуп је подскуп другог ако се сваки елемент из првог садржи у другом скупу))

На пример, партитивни скуп скупа {1, 2, 3} је следећи скуп {{1},{2},{3}, {1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},Æ}. Поред свих комбинација наведена три елеманта скупа у његов партитивни скуп улази и празан скуп (Æ), јер је празан скуп подскуп сваког скупа. Овај пример ће нам послужити да дођемо до Канторове теореме. Посматрајмо два наведена скупа – скуп и његов партитивни скуп. Какав је однос њихових кардиналних бројева? У наведеном примеру, кардинални број скупа је мањи од кардиналног броја његовог партитивног скупа. То је управо оно што се Канторовом теоремом тврди за сваки скуп – сваки скуп има мање елеманата него његов партитивни скуп.

Канторова теорема : За сваки скуп X важи |X| <  |P(X)|

Доказ: Најпре размотримо шта тачно треба да докажемо. Треба доказати да један скуп има мање елемената од другог. То се може урадити на више начина и ми смо одабрали један од њих. Начин доказивања који ћемо користити познат је под називом reductio ad absurdum (свођење на апсурд). Ако претпоставимо да је први скуп домен а други кодомен, и формирамо функцију f : X → P(X), онда треба доказати да ова функција није «на» или сурјекција (а то значи да не важи следеће – да за "xÎX,  ∃y Î P(X) и да важи  f (x) = y, или, другачије речено, да се у сваку слику (елемент) кодомена пресликао неки оргинал). Пођимо од супротне претпоставке – претпоставимо да је наведена функција сурјекција. Зашто ово претпостављамо? Уколико је функција сурјекција, једине две могућности односа елеманата ова два скупа биле би – или скупови имају исти број елемената, или скуп X има више елемената од P(X). Али, уколико функција није сурјекција, онда је доказана Канторова теорема, јер у том случају кодомен (P(X)) има више елеманата од домена (X). Претпоставимо, дакле, да је функција f : X → P(X) сурјекција. Ако је то случај, онда за скуп А = { a : a Î А Ù а Ï f (а)} Í X, и који је, као подскуп X-а елемент скупа P(X), значи, за тај скуп као елемент P(X) (А Î P(X)) постоји елемент x Î X такав да је f (x) = А (то следи из дефиниције сурјекције, која важи по претпоставци). Рекли смо да је скуп А Í X, а сада тражимо  x Î X такав да је f (x) = А (у првом случају А је подскуп домена, а у другом елемент кодомена). Постоје две могућности – или је x Î А  или x Ï А (овде се мисли на А као подскуп домена). Ако је  x Î А, онда следи да x Ï А зато што су елементи скупа А само они који нису елементи својих слика из кодомена, а x  као елемент А то не задовољава јер је дефинисан тако да је f (x) = А (тј. он је елемент А). Са друге стране, ако x Ï А, онда x мора бити елемент скупа (елемента кодомена) коме је придружен (слободније речено, мора бити елемент своје слике), а то је скуп А. То следи из почетног одређења скупа А [А = { a : a Î А Ù а Ï f (а)} Í X], чији су елементи само они елементи скупа X који нису елементи својих слика, одакле можемо закључити да сви други елементи скупа X (који не припадају скупу А) припадају својим сликама из кодомена. Као што видимо, дошли смо до противречности: Ако је x Î А, онда следи да x Ï А и ако важи x Ï А, онда следи да је x Î А. Због тога негирамо претпоставку од које смо кренули – функција f : X → P(X) није сурјекција, а то значи да је |X| <  |P(X)|.

У каквој су вези Канторова теорема и Канторов парадокс? Управо смо изложили доказ теореме којом се тврди да за сваки скуп важи да је кардиналност његовог партитивног скупа увек већа од његове кардиналности. Међутим, постоји скуп код кога то није случај. Узмимо скуп свих скупова (S) (у идеалној теорији скупова то је исправан скуп, дефинисан преко својства „бити скуп“) и његов партитивни скуп P(S). Према Канторовој теореми, однос њихових кардиналности би требало да је следећи:

            |S| < |P(S)|

Међутим, то је немогуће пошто је P(S) Í S (јер се сви чланови скупа P(S) морају садржати у S), а то значи да, према дефиницији подскупа, мора да важи |P(S)| < |S|). За P(S) важи и да је елемент скупа S, као скупа свих скупова - P(S) Î S. Слободније речено, Канторов парадокс се састоји у следећој противречној тврдњи – постоји скуп који је већи од највећег скупа (у овој формулацији смо величину скупова (бити већи) поистоветили са њиховом кардиналношћу (имати већи кардинални број)).

 

Logika, Istorija i filozofija logike | Sledeći | Prethodni | Komentari (0) | Trekbekovi (0)

Komentari

 
Powered by blog.rs