Ave Philosophy! Morituri te salutant!

Blog grupe filozofa

Једно решење Канторовог парадокса

tarpe | 10 Februar, 2014 13:53

Георг Кантор је 1899. године открио парадокс, али га је објавио много година након открића. Парадокс је касније и назван по њему. У међувремену се појавио још један велики парадокс теорије скупова који је уздрмао математику – Раселов парадокс. Бертранд Расел је, проучавајући Фрегеа и анализирајући доказ Канторове тореме, открио парадокс који ће изменити ток филозофије. Расел је свој откриће послао Фрегеу, а овај је други том својих Основних закона аритметике завршио следећим признањем:

Научник једва да може наићи на нешто непожељније него да доживи да му темељни принцип пропадне баш када је довршио посао. Ја сам био доведен у тај положај писмом господина Бертранда Расела, када је ово дело већ готово било објављено.

Раселов парадокс је у једном смислу важнији од Канторовог јер се у њему не појављују појмови подскупа, партитивног скупа и кардиналног броја неког скупа, већ само основни појам теорије скупова – скуп. Расел је предложио теорију типова као решење парадокса теорије скупова. Други начин решавања проблема парадокса је 1908. године објавио Ернст Цермело, уз каснију допуну Абрахама Френкела и Торалфа Сколема. То је Цермело-Френкелова аксиоматска теорија скупова, у оквиру које се налази аксиома сепарације (подскупа) а којом се ограничава избор скупова. Та теорија се још назива ZFC торија скупова, где слово C означава аксиому избора (Choice). Укратко, аксиома  сепарације (подскупа) каже да постоје (да се могу конструисати) само подкупови скупова који су већ дати.

Аксиома подскупа у ZFC:За сваки скуп z постоји подскуп који садржи тачно оне елементе из z који задовољавају j.

"z∃y"x (xÎy « (xÎz Ù j(x))).

Коментар аксиоме: да бисмо лакше испратили шта формулни запис аксиоме значи додајмо јој следеће yÍz (ово није права асиома већ схема аксиома, јер за свако j имамо по једну аксиому). Дакле, за сваки дати (већ постојећи) скуп (z), постоји подскуп (y) такав да садржи елемент x. Сваки елемент из z је носилац неког својства и могуће је преко тог својства (тј. његовог носиоца) направити подскуп). Ова аксиома је уствари аксиома компрехензије (издвајања) из Канторове или идеалне теорије скупова [($y)("x)(xÎy Û j(x))] модификована тако да се избор/издвајање скупа врши једино из већ постојећег скупа (због тога је скуп који бирамо његов подскуп). Могу се конструисати само скупови који су подскупови неког датог скупа.

Овим се онемогућава конструкција скупа свих скупова, јер немамо скуп чији је он подскуп, и на тај начин се избегава Канторов парадокс. За сваки скуп важи Канторова теорема онако како је доказана, али се променило разумевање тога шта значи бити скуп (шта се све подразумева под скупом). То што ова теорема не важи за скуп свих скупова не значи да је она погрешна него да скуп свих скупова није скуп у правом смислу те речи. Међутим, проблем је што смо до тог скупа дошли следећи наше интуиције о скуповима и идеалну теорију скупова. У идеалној теорији скупова овај скуп (скуп свих скупова) је исправан. Морало је, дакле, доћи до промене у самом грађењу (конструисању, издвајању) скупова.  Аксиоматизацијом (Цермела и Френкела), интуитивна идеја скупа као колекције објеката који имају неко својство је одбачена, а тиме и идеја да се скуп свих објеката може поделити на скуп оних који поседују то својство и оних који га не поседују (свих осталих објеката). Прешло се на изградњу скупова полазећи од задатих расположивих елемената (који се дефинишу аксиомама). Изградња сложенијих скупова се, такође, регулише путем аксиома (на пример, аксиома уније, аксиома подскупа, и слично), а то је сигуран пут да се парадокси попут Канторовог избегну. Ако на тај начин поставимо основе теорије скупова, онда ћемо добити систем у коме је могуће доказати Канторову теорему, а избећи Канторов парадокс.

Logika, Istorija i filozofija logike | Permalink | Komentari (42) | Trekbekovi (0)

Канторов парадокс

tarpe | 10 Februar, 2014 13:43

У овом кратком раду подсетићемо на једног од најважнијих савремених математичара и филозофа, творца теорије скупова – Георга Кантора (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor). Нећемо се бавити целокупним Канторовим стваралаштвом, али ћемо се позабавити једним његовим филозофски релевантним делом, а то је Канторов парадокс.

Кратка биографија: Георг Кантор је живео од 1845. до 1918 године. Рођен је у Санкт Петерсбургу. Математику је студирао у Цириху и Берлину. У Берлину је похађао предавања код најважнијих математичара тог времена – Ернста Кумера, Карла Вајерштраса и Леополда Кронекера (са којим ће касније доћи у лични и професионални сукоб). Још један велики савремени филозоф је студирао математику код двојице, од поменуте тројице математичара (Вајерштраса и Кронекера) – Едмунд Хусерл. Док је Хусерла пут даље водио преко Франца Брентана ка феноменологији, Кантор је цео свој радни век провео истражујући у две математичке области – теорији бројева и теорији скупова, и у обе је оставио запажене резултате. Преломни моменат у његовом животу је било познанство са Рихардом Дедекиндом, који је покушавао да дефинише скуп реалних бројева, и који је Кантора подстакао на истраживања у том пољу. Из тог периода његовог рада најважније достигнуће је доказ непребројивости скупа реалних бојева (R) («дијагонални аргумент»). Теорија скупова и теорија бројева нису одвојене области, него се, напротив, преплићу. Кантор је бројеве истраживао преко скупова бројева – природних, целих, рационалних, реалних, ..., и дошао до важних резултата. Нас занима његов парадокс, и сходно томе, из опште теорије скупова ћемо издвојити само оне појмове који су нам неопходни за разумевање те теме.

Теорија скупова је математичка теорија која се бави скуповима и важи за темељну математичку област (ону на којој се базирају друге области математике; нпр, преко скупова се могу дефинисати релације, функције, итд). Теорија скупова је математичка теорија која се бави скуповима и важи за темељну математичку област (ону на којој се базирају друге области математике; нпр, преко скупова се могу дефинисати релације, функције, итд). Природа скупова је, попут природе бројева или функција, нешто око чега су у математици и филозофији математике мишљења подељена. Неки филозофи сматрају да су скупови посебна врста математичких објеката а други то негирају, тврдећи да скупови нису објекти већ људски конструкти. Дакле, реч је о онтологији математике чији је предмет природа математичких објеката. Онтолошка питања су повезана са епистемолошким и методолошким. На пример, ако сматрамо да скупови постоје независно од наше свести, онда нам се намеће питање како их сазнајемо. Или је случај обрнут, ако заузмемо одређену епистемолошку позицију, отвара се питање онтолошког статуса предмета нашег сазнања. Такође, и тиме ћемо завршити ову кратку напомену из филозофије математике, на овом нивоу разматрања математичких питања није саморазумљиво шта је доказ или шта је математичка операција. Кроз школовање смо усвојили одговарајући математички језик и правила која користимо не доводећи их у питање. Бројили смо и рачунали, али се нисмо питали шта су бројеви. Цртали смо геометријска тела, израчунавали њихове површине и запремине, али смо се ретко питали шта су тачке, праве, равни. А када се упитамо шта је број, шта је тачка, шта је доказ, шта је скуп, онда смо на прагу филозофије математике. На било које од ових питања и покушај његовог одговора надовезује се мноштво филозофских питања и проблема везаних за језик и значење (семантика), природу или начин постојања објеката (онтологија), знање, оправдање и истину (епистемологија), примену математичких знања на стварност, утемељење или заснивање математике, и слично.

Скуп је основни појам идеалне теорије скупова, појам од кога се полази и он се не дефинише (већ се описује или интуитивно разумева). Скуп треба схватити као колекцију (збир) објеката који поседују неку особину.

S = { x : x има особину A} = { x : j(x) }, где j(x) значи да x има неку особину, на пример A,

Пример:  S = { x : x је столица} је скуп свих столица.

Теорија скупова о којој овде говоримо се обично назива Канторовом, класичном, идеалном или наивном теоријом скупова (сва имена су у употреби), и она је касније замењена тзв. аксиоматском теоријом скупова (којом се поједини парадокси избегавају). Ова потоња се још назива ZF теорија скупова, по почетним словима имена њених твораца – Цермела и Френкела. Иако у свом првобитном облику није излагана путем аксиома, за Канторову теорију скупова не можемо рећи да је неаксиоматска, јер се састоји из две аксиоме:

(1) аксиома екстензионалности (обухватности) – два скупа су једнака само у случају да су им елементи исти ("x)("y)(("z)(zÎx Ù zÎy) Û x=y)

(2) аксиома компрехензије (издвајања) – за свако својство постоји скуп који чине само они објекти који имају то својство ($y)("x)(xÎy Û j(x)). Ова аксиома је извор парадокса.

На место j(x) може доћи било које својство (због тога испред стоји универзални квантификатор "): x је сто, x је непаран број, x је планета Сунчевог система или x је скуп који није члан самог себе (Раселов парадокс). Скуп може бити дефинисан и преко негативних својстава, као што је на пример својство x није столица (то ће бити скуп свих објеката који нису столице тј. немају својство бити столица (у том случају можемо да ограничимо домен на метеријалне објекте или да допустимо да у њега уђу и апстрактни објекти)).

Битно је напоменути да Кантор није систематски изложио ову теорију, али је каснијим реконструкцијама утврђено да се она налази у позадини свега што је радио. Две аксиоме које смо навели (уз аксиому избора, о којој овде неће бити речи јер за проблематику парадокса није релевантна) су само другачији запис онога што је Кантор у свом раду подразумевао.

Основне операције са скуповима су подскуп, унија, пресек, разлика, комплемент,..., и њих овде нећемо изводити, већ ћемо их као најосновније претпоставити. Неке друге ћемо, ради могућности праћења текста, морати да објаснимо. Једна од особина скупова је њихов кардинални број (или кардинал, кардиналност).

Дефиниција кардиналног броја: Кардинални број неког скупа X је број елемената тог скупа и обележава се са |X|.

Да бисмо схватили Канторов парадокс морамо прво увести Канторову теорему, а да бисмо њу увели неопходан нам је појам партитивног скупа.

Дефиниција партитивног скупа: Партитивни скуп скупа X је скуп свих подскупова скупа X.

P(X) = {Y : Y Í X}  

(у овој формули Í значи подскуп (један скуп је подскуп другог ако се сваки елемент из првог садржи у другом скупу))

На пример, партитивни скуп скупа {1, 2, 3} је следећи скуп {{1},{2},{3}, {1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},Æ}. Поред свих комбинација наведена три елеманта скупа у његов партитивни скуп улази и празан скуп (Æ), јер је празан скуп подскуп сваког скупа. Овај пример ће нам послужити да дођемо до Канторове теореме. Посматрајмо два наведена скупа – скуп и његов партитивни скуп. Какав је однос њихових кардиналних бројева? У наведеном примеру, кардинални број скупа је мањи од кардиналног броја његовог партитивног скупа. То је управо оно што се Канторовом теоремом тврди за сваки скуп – сваки скуп има мање елеманата него његов партитивни скуп.

Канторова теорема : За сваки скуп X важи |X| <  |P(X)|

Доказ: Најпре размотримо шта тачно треба да докажемо. Треба доказати да један скуп има мање елемената од другог. То се може урадити на више начина и ми смо одабрали један од њих. Начин доказивања који ћемо користити познат је под називом reductio ad absurdum (свођење на апсурд). Ако претпоставимо да је први скуп домен а други кодомен, и формирамо функцију f : X → P(X), онда треба доказати да ова функција није «на» или сурјекција (а то значи да не важи следеће – да за "xÎX,  ∃y Î P(X) и да важи  f (x) = y, или, другачије речено, да се у сваку слику (елемент) кодомена пресликао неки оргинал). Пођимо од супротне претпоставке – претпоставимо да је наведена функција сурјекција. Зашто ово претпостављамо? Уколико је функција сурјекција, једине две могућности односа елеманата ова два скупа биле би – или скупови имају исти број елемената, или скуп X има више елемената од P(X). Али, уколико функција није сурјекција, онда је доказана Канторова теорема, јер у том случају кодомен (P(X)) има више елеманата од домена (X). Претпоставимо, дакле, да је функција f : X → P(X) сурјекција. Ако је то случај, онда за скуп А = { a : a Î А Ù а Ï f (а)} Í X, и који је, као подскуп X-а елемент скупа P(X), значи, за тај скуп као елемент P(X) (А Î P(X)) постоји елемент x Î X такав да је f (x) = А (то следи из дефиниције сурјекције, која важи по претпоставци). Рекли смо да је скуп А Í X, а сада тражимо  x Î X такав да је f (x) = А (у првом случају А је подскуп домена, а у другом елемент кодомена). Постоје две могућности – или је x Î А  или x Ï А (овде се мисли на А као подскуп домена). Ако је  x Î А, онда следи да x Ï А зато што су елементи скупа А само они који нису елементи својих слика из кодомена, а x  као елемент А то не задовољава јер је дефинисан тако да је f (x) = А (тј. он је елемент А). Са друге стране, ако x Ï А, онда x мора бити елемент скупа (елемента кодомена) коме је придружен (слободније речено, мора бити елемент своје слике), а то је скуп А. То следи из почетног одређења скупа А [А = { a : a Î А Ù а Ï f (а)} Í X], чији су елементи само они елементи скупа X који нису елементи својих слика, одакле можемо закључити да сви други елементи скупа X (који не припадају скупу А) припадају својим сликама из кодомена. Као што видимо, дошли смо до противречности: Ако је x Î А, онда следи да x Ï А и ако важи x Ï А, онда следи да је x Î А. Због тога негирамо претпоставку од које смо кренули – функција f : X → P(X) није сурјекција, а то значи да је |X| <  |P(X)|.

У каквој су вези Канторова теорема и Канторов парадокс? Управо смо изложили доказ теореме којом се тврди да за сваки скуп важи да је кардиналност његовог партитивног скупа увек већа од његове кардиналности. Међутим, постоји скуп код кога то није случај. Узмимо скуп свих скупова (S) (у идеалној теорији скупова то је исправан скуп, дефинисан преко својства „бити скуп“) и његов партитивни скуп P(S). Према Канторовој теореми, однос њихових кардиналности би требало да је следећи:

            |S| < |P(S)|

Међутим, то је немогуће пошто је P(S) Í S (јер се сви чланови скупа P(S) морају садржати у S), а то значи да, према дефиницији подскупа, мора да важи |P(S)| < |S|). За P(S) важи и да је елемент скупа S, као скупа свих скупова - P(S) Î S. Слободније речено, Канторов парадокс се састоји у следећој противречној тврдњи – постоји скуп који је већи од највећег скупа (у овој формулацији смо величину скупова (бити већи) поистоветили са њиховом кардиналношћу (имати већи кардинални број)).

 

Logika, Istorija i filozofija logike | Permalink | Dodaj komentar | Trekbekovi (0)

 
Powered by blog.rs