Ave Philosophy! Morituri te salutant!

Blog grupe filozofa

Problem Aristotelovog točka

ivanpetrovic | 11 April, 2010 12:24

Sa problemom Aristotelovog točka sam se susreo nedavno na predavanjima iz istorije filozofije. Problem, odnosno paradoks je jako zanimljiv i čudan i upravo zato mi ne daje mira, baš kao i mnogim ljudima kojima je zadavao glavobolje tokom više od 2000 godina, od kad postoji. Zato sam odlučio da ga podelim sa vama i čujem vaše mišljenje.

Evo dakle, o čemu se radi:

Aristotelov točak

Imamo dva koncentrična kruga (leva strana slike), tj. jedan krug je u drugom i imaju zajednički centar gde je jedan (roze boje) manji od drugog (plave boje). Dakle, kretanje manjeg kruga bi bilo uslovljeno kretanjem većeg. Sada zamislimo da se veći krug počinje kotrljati, počevši od tačke A. Takvo kretanje bi primoralo kretanje i manjeg kruga, počevši od tačke B koja je na početku kretanja tačno iznad tačke A. Veći krug završava svoje kretanje u tački A' i dužina linije AA' je jednaka obimu većeg kruga, odnosno on se tokom kretanja okrenuo tačno jedanput. Manji krug, krećući se zajedno sa većim, se takođe okrene samo jedanput i završava kretanje u tački B' (završni položaj - desna strana slike).

Problem je u tome što dužina puta koji je je prešao manji krug (BB', roze linija) nije jednaka njegovom obimu, već je jednaka dužini duži AA' (plava linija), tj. obimu većeg kruga. Kako je moguće da se krug manjeg obima okrene samo jednom (dakle pređe svoj obim) a dužina njegovog puta, tj. obima ispada jednaka većem krugu? Kako je moguće da put manjeg kruga, koji bi trebao da bude manji, prelazi veću dužinu od svog obima, jednaku putanji većeg kruga? Ukoliko ovakvo objašnjenje nije jasno, možete pogledati kako to izgleda animirano na http://mathworld.wolfram.com/AristotlesWheelParadox.html.

Koje je rešenje ovog problema i da li se uopšte ovaj problem može rešiti?

Komentari

Re: Problem Aristotelovog točka

highlander | 11/04/2010, 17:07

zanimljivo :)

ne očekuješ valjda da mi obični smrtnici rešimo ovaj paradoks? :)
inače, ja mislim da ovde dolazi do razvlačenja putanje kruga B, tj. plava linija je obim kruga A, koji "vuče" krug B i tako se čini da B ima veći prečnik nego što jeste... imho

Re: Problem Aristotelovog točka

sanjarenja56 | 11/04/2010, 17:15

Hmm, ne dobijam jedinicu ako ne rešim?

Re: Problem Aristotelovog točka

Stepski | 11/04/2010, 22:50

Pogrešna je pretpostavka da je mali krug prešao putanju jednaku svome obimu, samo zato što se okrenuo jednom. Dok se točak kotrlja od tačke A do tačke A', felna se, ne samo kotrlja od tačke B do tačke B', već se vozi na točku koji je silom svoje kretnje vuče napred. Dakle, može se reći da se veći krug kotrljao, a manji se kotrljao i proklizavao duž svoje putanje koja je zbog tog proklizavanja duža od obima manjeg kruga.

Re: Problem Aristotelovog točka

Stepski | 11/04/2010, 22:58

E da, centar obe kružnice je takođe prešao istu putanju, a centar je tačka koju možemo shvatiti kao kružnicu nultog obima. Da je pretpostavka o jednakosti pređenog puta i obima kružnice tačna, centar kružnice bi prešao putanju dužine nula, što bi značilo da je kretanje nemoguće. :)

Re: Problem Aristotelovog točka

ivanpetrovic | 11/04/2010, 23:17

highlander nikad se ne zna kome će kad šta pasti na pamet... Njutnu je pala jabuka i eto ti gravitacije. :D
To sa razvlačenjem je jako interesantna zamisao, samo se tada postavlja pitanje na koji način dolazi do razvlačenja.

Re: Problem Aristotelovog točka

ivanpetrovic | 11/04/2010, 23:21

sanjarenja56, kod mene se uvek dobija petica za trud. "Bitno je uključiti male sive ćelije", kako bi to rekao Poaro. ;)

Re: Problem Aristotelovog točka

ivanpetrovic | 11/04/2010, 23:29

Stepski, to je zaista tako u realnom, fizičkom svetu, pogotovu zato što ne postoji savršen krug, tj. zato što je sve sastavljeno od atoma koji ipak imaju neki oblik, odnosno nisu tačke bez oblika. Slažem se sa tobom da mora doći do šlajfovanja manjeg kruga ali samo u realnom svetu. Na nivou apstraktnog matematičkog sveta gde je savršena kružnica sastavljena od tačaka problem i dalje stoji.
Ovo što si rekao za centar kružnice je odlična poenta. Mislim da tu ima nečega. Moraću još da razmislim o tome. Hvala ti! Ako ti padne još nešto na pamet javi. :)

Re: Problem Aristotelovog točka

Miloš | 12/04/2010, 18:07

@ivanpetrovic
Stepski je u pravu, nema to veze sa apstraktno vs realno, "proklizavanje" postoji u oba slučaja jer je uslovljeno time da su krugovi nepomični u odnosu jedan na drugi. Isto važi i za obrnuti slučaj - ako manji krug ne "proklizava" i pomeri se za svoj obim, onda veći mora "proklizavati".

Osim ako pod "realnim" nisi mislio da su krugovi npr. svaki fizički obmotani nerastegljivim strunama koje jednim krajem fiksirane u početnim tačkama A i B, što dodaje još jednu pretpostavku da nema proklizavanja nijednog kruga. Tada međutim nikako ne možeš dobiti gornje opisanu "apstraktnu" situaciju, tj. nećeš uopšte biti u mogućnosti da rotiraš krugove zajedno jer će sistem biti previše ograničen.

Ili matematički rečeno: uvek možeš naći prečnik kruga/točka tako da ugaona brzina rotacije bude jednaka brzini translacije centra, ali za sve ostale krugove važi samo da je ugaona brzina fiksirana uslovom da su krugovi nepomicni, a da je brzina tranlacije centra takva kakva je, te je pređeni put (za jednu punu rotaciju) uvek ista i odrđena samo vektorom i brzinom translacije, a ne rotacije.

Nema Resenja

Veljko | 19/04/2010, 16:18

Mislim da resenje nije moguce,postoji vise objsnjenja,a ne postoji ni jedno,to je jednstavno vizuelna varka,mozda je objasnjivo,mozda u svetu 4d koji mi ne pozanjemo,ne vidimo!!!

Re: Problem Aristotelovog točka

Marko Tesic | 23/04/2010, 16:29

Problem problema i njegovo resenje je dato na tom liku na kome se problem nalazi animiran (link naveden u tekstu).
Glavni problem nije u obimima krugova, vec u zahtevu da svaka tacka jednog kruga bude u korespodenciji 1-1 sa tackama drugog kruga, sto je moguce jer je kardinalnost tacaka i jednog i drugog kruga ista, tj. ima ih beskonacno neprebrojivo mnogo.

Re: Problem Aristotelovog točka

ivanpetrovic | 24/04/2010, 11:05

Marko, slažem se sa tobom da tačaka ima beskonačno neprebrojivo mnogo ali ne jednako neprebrojivo mnogo.
Intuitivno gledano manji krug mora da ima manje tačaka od većeg.
U suprotnom bi svi geometrijski oblici koji imaju isti nivo kardinalnosti morali da imaju isti broj tačaka.

Re: Problem Aristotelovog točka

ivanpetrovic | 24/04/2010, 11:13

Miloše, mnogi ljudi mešaju fizičko i matematičko posmatranje ovog problema. I sam sam pomislio da mora doći do šlajfovanja manjeg u svakom slučaju, ali kada problem gledamo u čisto matematičkom kontekstu sa svim matematičkim pojmovima problem stoji i nije toliko lako objasniti zašto dolazi do problema i da li ga uopšte ima, kao što je lako to objasniti posmatrano iz "fizičke" perspektive..

Re: Problem Aristotelovog točka

Marko | 24/04/2010, 13:15

Sve linije imaju isti broj tacaka. Pogledaj na internet strani http://www.ualberta.ca/~vladan/IstorijaIIb2008Nedelja3.html
Manju liniju posmatraj kao razvijeni manji krug, a vecu kao razvijeni veci krug. Korespodencija 1-1 je u tom slucaju moguca.

Re: Problem Aristotelovog točka

ivanpetrovic | 25/04/2010, 00:08

Ukoliko tako posmatramo stvari onda bi smo morali prihvatiti to da oba kruga pre početka kretanja imaju potpuno iste obime, tj. potpuno isti broj tačaka, s obzirom da imaju istu kardinalnost i da mogu doći u 1-1 korespodenciju.
Tako možemo izjednačavati bilo koje dve figure koje imaju isti nivo beskonačnosti što je po mom mišljenju apsurdno.
Ipak, mislim da verovatno dolazi do korespodencije 1-1 ali da nije objašnjen način na koji dolazi do toga. Nije objašnjen način jer manji krug mora imati manji broj tačaka inače bi svi krugovi i sva geometrijska tela mogla imati isti broj tačaka.
Da li to znači da manji krug deluje manje jer su te tačke nekeko "zbijenije" pre kretanaja pa se tokom odmotavanja one nekako šire da bi se ostvarila korespodencija 1-1(u slučaju da imaju jednaki broj tačaka)?
Više ne znam šta da mislim...

Re: Problem Aristotelovog točka

king | 25/04/2010, 01:31

Problem uopste ne potoji. Jasno je da manji kug mora proklizavati da bi se kretao zajedno sa velikim. Kotrljanje sa proklizavanjem je vrlo dobro obradjen pojam u fizici. Nije mi jasno zasto bi ovo bilo koga zbunjivalo.

Re: Problem Aristotelovog točka

ivanpetrovic | 25/04/2010, 09:46

king slažem se sa tobom da problema nema ali samo u fizičkom svetu. Isto kao i sa Zenonovim paradoksima. Oni tvrde da kretanja nema ali i ti ja vidimo da se krećemo. Ovo je čist matematički problem.

Re: Problem Aristotelovog točka

petar | 25/04/2010, 21:21

Intuitivno je neprihvatljivo da dve linije različite dužine imaju isti broj tačaka, ali izgleda da se ovde ne možemo oslanjati na intuiciju. Tačno je to što Marko kaže; na ovoj stranici se linija savije i dovodi u korespondenciju 1-1 sa drugom. Ipak, nije mi jasno kako govoriti o korespondenciji 1-1 kada je u pitanju neprebrojivi skup? Sa kojim skupom ga dovodiš u korespondenciju? Zar nismo o korespondenciji 1-1 govorili u odnosu na skup prirodnih brojeva, pa je tako uvedena kardinalnost "alef 0", a linija ili kontinuum ima kardinalnost "alef 1" jer se ne može dovesti u korespondenciju sa skupom prirodnih brojeva(razlika između prebrojivih i neprebrojivih skupova).
Ivane, rekao si jednu zanimljivu stvar, ovo sa "zbijenijim" tačkama. Treba pokušati obeležiti točkove npr. kao da se posmatraju dva časovnika, pa onda upoređivati kako se brojevi ponašaju dok se točkovi kotrljaju(kao sa onim šestouglovima, što je čini mi se Galilejev pokušaj).

Re: Problem Aristotelovog točka

inana | 25/04/2010, 21:40

opa... ja jesam bila matematicki al ovo...
kao na foru : koliko andjela moze stati na vrhu igle?

Re: Problem Aristotelovog točka

ivanpetrovic | 26/04/2010, 00:23

Petre slažem se sa onim što si napisao. Ima tu još dosta nerazjašnjenih problema, pogotovo sa zbijenošću tačaka.

Korespodencija 1-1 se može (obratite pažnju na ovo može, tj. nigde ne piše nižno) ostvariti samo na početku, tj. kada krugovi miruju i samo na kraju kada se završi kretanje. Tako se samo objašnjava šta se dešava ali ne i kako se dešava. Na koji način tokom kretanja (odmotavanja) dolazi do toga da se jedna i samo jedna tačka manjeg kruga preslika na jednu i samo jednu tačku većeg kruga? Za rešavanje ovog problema nije dovoljno poznavati samo matematiku - geometriju (koja se bavi samo statičnim figurama) već je neophodno poznavanje i kinematike.

Mislim da ova dva kruga nemaju isti broj tačaka, tj. njihove beskonačnosti nisu jednake (ianče ne bismo mogli reći da je jedan krug manji od drugog). S obzirom da je kretanje manjeg kruga uslovljeno kretanjem većeg, čini mi se da manji pokušava da dostigne isti "nivo" beskonačnosti (ne mislim na kantorovski), tj. on se razvlači tokom odmotavanja umetanjem tačaka (verovatno po nekom zakonu koji nam još nije poznat) da bi došao u korespodenciju 1-1 sa obimom odmotanog većeg kruga. To mi se čini kao najlogičnije rešenje.
Ne znam šta vi mislite o tome.

Re: Problem Aristotelovog točka

katarina | 30/04/2010, 20:59

Sta onda cini jednu beskonacnost vecom od druge? Koliki je to broj tacaka? Sta se desava kad se te zbijene tacke razdvoje? Sta je izmedju? Tacke?

Re: Problem Aristotelovog točka

slobodan | 12/12/2010, 12:18

Ako dva tela(tačke)kreću sa iste pozicije,istom brzinom,za isto vreme prelaze isti put,tako da ovo sa točkom nema veze.

Aristotelov tocak

Dragoljub | 04/10/2011, 17:05

Основна грешка која доводи до парадокса јесте претпоставка да се тачка А креће дуж приказане путање AB, и да се тачка C креће дуж приказане путање CD. То је путања кретања центра замајца, који је једнак за оба ваљка замајца док се тачке А и С крећу по другачијим путањама. Док центар замајца пређе растојање AB=CD, тачке А и С се крећу по кривама сличног облика али различите дужине. Оне се разликују – AB>CD.

tocak

wu ming | 12/10/2011, 12:46

Da zanimljivo. U pitanju je mehanika ili prciznije kinematika. Meni je sve vreme paradoks to sto ljudi u ovome vide paradoks. Covek je lepo u prethodnom komentaru sve objasnio.

Re: Problem Aristotelovog točka

Slobodan Blagojevic | 02/01/2013, 20:08

Ovo je falsifikat jer takav paradoks kod Aristotela ne postoji,to nije nikakav paradoks. Dajte izvore gde ste ga kod Aristotela procitali?

Re: Problem Aristotelovog točka

Slobodan Blagojevic | 02/01/2013, 20:10

Dakle niti je Aristotelov ,nniti je paradoks.

John

Smitha387 | 04/05/2014, 08:36

I simply couldn't depart your web site prior to suggesting that I actually loved the usual info a person supply for your guests? Is gonna be again continuously in order to check up on new posts. fdgddbbeaceegfee

Good info

Pharme689 | 05/05/2014, 06:51

Very nice site! [url=http://opeyixa2.com/qvovoa/2.html]cheap goods[/url]

Good info

Pharmb122 | 05/05/2014, 06:57

Very nice site!

Good info

Pharmg241 | 05/05/2014, 12:41

Very nice site! cheap goods

Re: Problem Aristotelovog točka

đorđe | 02/01/2016, 17:39

X=2r'Pi+2rPi-2r'Pi
X=2rPi
2r'Pi=0
Jedini pređeni put je 2rPi
dok drugi ne postoji.

Good info

Pharmf457 | 11/08/2016, 04:18

Very nice site! cheap goods

cheap via_gra pills

via_gra | 14/08/2016, 23:06

You really make it seem so easy with your presentation but I find this topic to be really something which I think I would never understand. It seems too complicated and extremely broad for me. I'm looking forward for your next post, I'll try to get the hang of it!

John

Smithf849 | 17/01/2017, 11:30

It's truly a great and useful piece of information. I'm satisfied that you shared this helpful information with us. Please stay us informed like this. Thank you for sharing. gggbckdcedgafedd

John

Smithg417 | 09/02/2017, 14:15

Some really nice and useful information on this web site, also I conceive the style and design holds superb features. bbefbffaaefegead

zp qs

vbtkkzmaype | 28/01/2020, 06:08

https://paydailoanz.com -

quick cash loans bad credit - qyous

Lisoadach | 07/06/2020, 12:19

bad credit payday loans http://www.loansus.org/towaco
speedy cash loans
http://www.loansus.org/towaco

diba kredit - hxgg

Trjjdfhh | 04/07/2020, 17:46

schnell kredit http://www.sofortkreditonline.org/kredit-84-monate-laufzeit
kredit fur haus http://www.sofortkreditonline.org/kredit-84-monate-laufzeit studenten kredit
http://www.sofortkreditonline.org/kredit-84-monate-laufzeit

Dodaj komentar





Zapamti me

 
Powered by blog.rs